fbpx

כתב היד האבוד של ארכימדס

כתב היד האבוד של ארכימדס

כתב: רן לוי

ארכימדס איש סירקוסאי זכור בעיקר בזכות המכונות המרשימות שבנה כדי להגן על עירו מפני הרומאים: קרן החום, ה'טלפיים' האימתניות שהניפו ספינות מהמים וטילטלו אותן כדגים על חכה…אבל התגלית החשובה ביותר שלו, זו שהקדימה את ניוטון ולייבניץ בכמעט 1900 שנים – החשבון האינפיטיסימלי – נותרה עלומה, בגלל נזיר נוצרי שהחליט להפוך את כתב היד החשוב שלו לספר תפילה.


הורד את הקובץ (mp3)

הרשמה לפודקאסט: רשימת תפוצה במיילiTunes | אפליקציית 'עושים היסטוריה' לאנדרואיד | RSS Link | פייסבוק | טוויטר


השנה היא 212 לפני הספירה. המקום – חומותיה המבוצרים של העיר היוונית סירקוסאי, לחופיו של האי סיציליה. צי ענק של עשרות ספינות מלחמה רומאיות מתקרב אל העיר. במקביל, כוח יבשתי של אלפי חיילים רומאים מתקרב אף הוא אל העיר, מתכונן למתקפה שתלכוד את סירקוסאי בלפיתת צבת דו כיוונית. את הצבא הרומאי מוביל מרכוס קלודיוס מרקלוס, אחד הגנרלים המבריקים של הרפובליקה והאיש שבמו ידיו הרג את מלכם של הגאלים, אויביהם המושבעים של הרומאים. אפשר להניח שאף אחד בעולם העתיק לא היה שש להתחלף עם מגניה של סירקוסאי, שמולם ניצב אויב שכזה.

הספינות הרומאיות מתקרבות אל החוף, וההגנה היוונית מתעוררת לחיים. בליסטראות שמוצבות מאחורי החומות משליכות על הצי המתקרב סלעים ענקיים משלהן. חלק מהספינות נפגעות, אבל ארטילריה הייתה נשק מוכר בעולם הקדום והרומאים ציפו להתקפה זו. הם ממשיכים לחתור את הספינות קרוב יותר ויותר אל החומות, מתוך ידיעה שלבליסטראות יש טווח פעולה קבוע: ברגע שיתקרבו מספיק אל החומות תהפוך הארטילריה לבלתי יעילה והסלעים יחלפו מעל ראשיהם.

הם חותרים וחותרים, מתקרבים עוד ועוד אל החומות…אבל הארטילריה אינה מפסיקה. משהו משונה מתרחש כאן: הבליסטראות היווניות, מגלים הרומאים, מסוגלות לשנות את טווח פעולתן והסלעים – גדולים, קטנים, כהים ומשוננים – ממשיכים ליפול עליהם כל הזמן, ללא הפסקה, כמו גשם של הרס וחורבן.

מרקלוס מדרבן את חייליו הלאה, דוחף אותם להסתער על החומות הבצורות של העיר. הספינות ששרדו את הארטילריה נצמדות אל החומות והחיילים מתכוננים לטפס עליהן – אבל כאן מחכה להם הפתעה נוספת. מתוך החומות בוקעות קורות ענקיות, מהן משתלשלים מטה ווי מתכת גדולים כמו חכות ענקיות. המגנים מכוונים את הקורות ימינה ושמאלה, מעלה ומטה – עד שאחד הווים פוצע את גוף העץ של ספינה, ננעץ בתוכה כמו קרס בזימיו של דג. ואז מתרחש הבלתי יאמן. כוח אדיר מניף את הספינה הגדולה באוויר כמו הייתה דג מפרפר על חכה. אחת אחרי השנייה נלכדות הספינות הרומאיות בטלפי המכונות הסירקוסאיות. הספינות מתהפכות על צידן או מוטחות בזו אחר זו בעצמה לתוך החומות, והחיילים המבוהלים מוטלים למים כמו נמלים.

הצי הרומאי נסוג, מלקק את פצעיו, אך מרקלוס לא מוותר. הוא מארגן את כוחותיו ויוצא למתקפת לילה חשאית. תחת כסות החשיכה נצמדות הסירות הרומאיות לחומות והחיילים מתחילים לטפס עליהן. ושוב, המגנים מוכנים עם הפתעה משלהן. מחורים קטנים וחבויים בחומות נורים על הכוחות המסתערים אלפי חיצי מתכת קטנים ומהירים. הרומאים בפניקה, ושם אחד נישא בפיהם של החיילים ההיסטריים בעודם נאבקים לברוח על חייהם: ארכימדס! זה אריכמדס! כל אבן שבולטת מהקיר, כל קורת עץ שמציצה מראש החומות מעבירות בהם צמרמורת של חרדה: אלו הן המכונות האיומות של ארכימדס!

מרקלוס וכוחותיו נסוגים בשנית. גם כוחות היבשה שתקפו במקביל ספגו מכה כואבת מהארטילריה והחיצים היוונים. המצביא הרומאי נאלץ להכיר באמת: כל עוד אחראי הגאון היווני המסתורי על הגנותיה של סירקוסאי – אין לצבא שלו סיכוי. הוא מחליט לשנות טקטיקה, ומטיל על סירקוסאי מצור. מרחוק.

המלחמה הפונית הראשונה

מיד נשוב אל סיפור המצור על סירקסואי, אחת הדרמות הגדולות בדברי ימי העולם העתיק. אך ראשית, מיהו אותו גאון מסתורי שהמכונות שהגה פגעו קשה כל כך בצי הרומאי? אנחנו לא יודעים הרבה על חייו האישיים. ידוע שנולד בסירקוסאי בשנת 287 לפנה"ס, אבל איננו יודעים כמעט דבר על הוריו, ילדותו, אם היה נשוי או אם היו לו ילדים. רוב מה שאנחנו יודעים על ארכימדס מגיע אלינו מכותבים בני דורות מאוחרים יותר. ובכל זאת, למרות שאין לנו הרבה מידע אודות חייו האישים של ארכימדס – אפשר ללמוד עליו לא מעט מתוך עבודתו המקצועית: מכתבים וכתבי היד שלו על מתמטיקה ומכניקה.

ומה שאנו יודעים על ארכידס הוא פתח לדיון בשאלה מרתקת. ארכימדס היה גאון. שמו של ארכימדס – מתמטיקאי ומהנדס יווני – מוכר לכולנו כמעט ולא במקרה מוקדש חלק גדול מהחצר של מוזיאון המדע להמצאות פרי מוחו של ארכימדס, שעל חלקן נדבר מיד. אבל הוא לא חי בואקום: הוא חי במקום מסוים, בזמן מסוים והיה מוקף באנשים מסוימים. השאלה היא איזו השפעה יש לנסיבות חיצוניות אלה על האופן שבו באיה לידי ביטוי גאונות, או כישורים יוצאי דופן בתחום מסוים. סיפור חייו של ארכימדס ידגים לנו את ההשפעה הגדולה שיש לנסיבות חיצוניות שכאלה, השפעה שעשויה להיות חיובית, אך לעיתים – כפי שניווכח – גם שלילית.

פרט ליוונים, היו באזור של סיציליה עוד שתי מעצמות משפיעות. הראשונה הייתה קרתגו, מושבה פיניקית במקום שהוא היום טוניס, שהייתה עיר מסחר עשירה ומשגשגת. השניה היא רומא, שהייתה אז, בתחילת המאה השלישית לפנה"ס, רפובליקה קטנה יחסית.
הפיניקים כל הזמן לטשו עיניים לסיציליה בזכות המיקום האסטרטגי שלה במרכז הים התיכון. קרתגו בחשה כל הזמן בפוליטיקה הפנימית של האי, ואף שלחה מדי פעם כוחות צבאיים כדי לנסות ולהשתלט על חלקים ממנו. ניסיונותיה של קרתגו להשתלט על סיציליה הטרידו את הרומאים, כיוון שסיציליה הייתה עבורם מקור חשוב לתבואה. עם השנים הלכה וגברה המתיחות בין הרומאים ובין ה'פונים' – כפי שכינו את הפיניקים בשפתם – עד שבשנת 250 לפנה"ס פרצה ביניהם לבסוף מלחמה גלויה: המלחמה הפונית הראשונה. המלחמה הזו הסתיימה בניצחונה של רומא שהשתלטה על שטחים גדולים בסיציליה על חשבונה של קרתגו.

סירקוסאי, שבמערב סיציליה, הייתה ממלכה עצמאית ובראשה עמד המלך הירון השני. הירון תמך בתחילה בקרתגו, אבל ההצלחה הרומאית שכנעה אותו להחליף צד ולכרות ברית עם הרומאים. הברית הזו הוכיחה את עצמה כמוצלחת מאד, והעניקה להירון כחמישים שנים של שלטון יציב ושגשוג כלכלי, ללא מלחמות או חיכוכים משמעותיים.ה'שקט התעשייתי' הזה היה מועיל מאד גם לארכימדס, ואפשר לו להתמקד במחקריו במתמטיקה טהורה ומדי פעם לעסוק בפרויקטים ומטלות שהטיל עליו המלך הירון, שהיה ידידו הקרוב ואולי אפילו קרוב משפחתו.

סירקוסאי הייתה אמנם בסיציליה, אבל הייתה עיר יוונית. התושבים דיברו יוונית וחלקו את אותם ערכים תרבותיים שהיו משותפים לשאר היוונים הקדמונים. אחד הערכים היוונים החשובים הייתה האמונה בערכו של מדע טהור – דהיינו, מחקר וגילוי לשם הידע עצמו, ולא בהכרח לשם יישום של מטרות מעשיות כמו תכנון מכונות או הקמת בניינים. גם ארכימדס, שגדל לתוך התרבות הזו, העדיף לעסוק במתמטיקה טהורה. מאידך, סיציליה – במרכז הים התיכון – הייתה קרובה גם לאלכסנדריה, שהייתה מרכז תרבותי חשוב. ארכימדס למד באלכסנדריה כנער, ושם ספג גישה שונה, ומעשית יותר. על פי עדויות מסוימות, ארכימדס תכנן בזמן שהותו באלכסנדריה שעון מבוסס על זרימת מים שהיה מדויק באופן יוצא דופן. עושה רושם, אם כן, שלמרות שארכימדס העדיף את המתמטיקה המופשטת וה'טהורה' – הוא עדיין נחשף לאופן שבו ניתן להעזר בידע מופשט זה למטרות מעשיות כגון בניית מכונות וכדומה, וידע זה סייע לו רבות בהמשך חייו.

כתר הזהב של הירון

אחד הסיפורים המפורסמים על ארכימדס הוא סיפור ה'אאוריקה!', וגם הוא מתחיל במשימה שהטיל עליו המלך. על פי המסופר, המלך שכר צורף שייצור עבורו כתר מזהב טהור במשקל מסוים. נאמר, לצורך ההסבר – 1 ק"ג. כשקיבל המלך את הכתר הוא ראה שאכן משקלו הוא 1 ק"ג – אבל הוא חשד בצורף שהחליף חלק מהזהב בכסף, שהיא מתכת זולה יותר. הוא ביקש מארכימדס למצוא שיטה לבדוק את תכולת הכסף והזהב בכתר – מבלי לפגוע בו.

התיאורים אודות ארכימדס מספרים שהוא היה עסוק כל היום וכל הלילה במחשבות על מתמטיקה, עד כדי כך שהמשרתים שלו היו צריכים לגרור אותו בכוח אל האמבטיה. אגב, גם הילדים שלי אותו דבר: רק צריף להחליף את המילה 'מתמטיקה' ב-XBox. גם באמבטיה, כך מסופר, המשיך ארכימדס לשרטט צורות בסבון שעל גופו.

ארכימדס ידע שכסף קל יותר מזהב, ולכן אם החליף הצורף חלק מהזהב בכסף – ועדיין ביקש לשמור על משקל כולל של 1 ק"ג – הוא היה חייב להגדיל את הכתר. קל להבין את הרעיון אם נגזים ונאמר שמחליפים חלק מהזהב בצמר גפן: צריך המון צמר גפן כדי להגיע למשקל של 1 ק"ג. הבעיה הייתה שההבדל במשקל בין זהב וכסף לא כזה גדול, ולכן אם הכתר גדול יותר – הוא גדול רק במעט, במידה שאי אפשר לראות אותה בעין. איך ניתן, אם כן, לקבוע אם הכתר מכיל כסף? באמבטיה, מספרת האגדה, מצא ארכימדס את הפתרון. הוא שם לב שכשהוא נכנס לתוך האמבטיה – מפלס המים שלה עולה. דהיינו – הגוף שלו דוחק נפח של מים. הוא הבין שנפח המים שגוף כלשהו דוחק – חייב להיות זהה לנפח של הגוף. זו הסיבה שאם מכניסים תינוק קטן לאמבטיה מפלס המים עולה רק במעט, בעוד שאצל אדם בוגר מפלס המים עולה מאד. ארכימדס הבין שכדי למדוד את נפח הכתר – ז"א, כמה גדול הכתר – הוא צריך רק להכניס אותו לתוך קערת מים, למדוד בכמה עולה מפלס המים. הבדיקה עצמה העלתה שהכתר אכן היה גדול מכפי שהיה צריך להיות, ומכאן שהצורף אכן רימה והחליף חלק מהזהב בכסף. ארכימדס היה כל כך נרגש שיצא מהאמבטיה ערום כביום הוולדו ורץ ברחובות סירקסואי כשהוא זועק 'אאוריקה! אאוריקה!', שזה ביוונית 'קר לי! קר לי!'. טוב, בעצם 'גיליתי! גיליתי!'…

סביר מאד להניח שהסיפור לא התרחש במציאות, ולא רק מכיוון שקשה לדמיין את ארכימדס רץ ערום ברחובות. ההבדל בנפח בין כתר מזהב טהור וכתר מזהב מעורבב בכסף הוא זעום, והיה מעלה את מפלס המים בדלי בפחות ממ"מ – קשה היה למדוד עליה זעומה כזו בכלים שהיו בזמנו של ארכימדס. למרות זאת, אנחנו יודעים שלארכימדס אכן הייתה הבנה מעמיקה בכוחות שפועלים על גופים השקועים במים – ותעיד על כך הדוגמה הבאה, גם היא מימי השלום הממושך של המלך הירון.

הירון ביקש מארכימדס שיתכנן ספינה כדי לתת אותה במתנה לתלמי השלישי, מלך אלכסנדריה. וכראוי למתנה עבור מלך, זו לא הייתה 'סתם' ספינה אלא הספינה הגדולה ביותר שידע העולם עד אז. שמה היה 'הסירקוסיה', והיא הייתה אמורה לשאת עליה מאות נוסעים וחיילים בפאר ונוחות חסרי תקדים: היו בה אולם התעמלות, בריכת שחיה ואפילו מקדש לאלה אפרודיטה. ספינה כה מפוארת עתידה הייתה לשקול אלפי טונות, והשאלה המתבקשת מאליה היתה – איך אפשר לוודא שספינה כה גדולה תצוף בבטחה? זו בעיה שמתככני ספינות נתקלים בה גם היום: מי שגר בחיפה ומביט על הנמל וודאי רואה את הספינות הענקיות שנכנסות לתוכו: מפלצות פלדה אדירות השוקלות מאות אלפי טונות וצפות על המים ללא בעיה. אבל, מצד שני, אם אני מפיל את האייפון שלי – ששוקל רק כמה מאות גרם – לתוך השירותים, הוא צולל למטה כמו הטיטניק. מדוע?

אם זה היה רק האייפון שלי שמתנהג באופן זה, הייתי מהמר על זה שאפל תכננה את זה בכוונה כך שנצטרך לקנות טלפון חדש כל שנתיים. אבל התשובה האמתית נעוצה בכלל שניסח ארכימדס בשם חוק הציפה, או כפי שהוא מכונה לפעמים – 'עקרון ארכימדס'. העיקרון אומר שכוח הציפה שפועל על גוף שקוע במים, שווה למשקל המים שהגוף דוחק. דהיינו, הטלפון שלי הוא קטן ודוחק רק נפח קטן של מים: מכאן שכוח הציפה, הכוח שדוחף אותו למעלה, הוא נמוך וקטן יותר מהמשקל של הטלפון ולכן המכשיר צולל לתוך השירותים. ספינה, לעומת זאת, היא קעורה ורחבה ולכן היא דוחקת הרבה יותר מים. אם משקל המים שהספינה דוחקת גדול יותר ממשקלה – הכוח שיציף אותה יגבר על כוח המשיכה, והספינה תצוף על המים גם אם היא שוקלת אלפי טונות. ארכימדס נעזר בתובנה הזו כדי לתכנן את ה'סירקוסיה' כך שגוף הספינה ידחק מים במשקל גדול, והיא אכן הצליחה להפליג בבטחה עד לאלכסנדריה.

באותה הספינה, אגב, הדגים ארכימדס פיתוח נוסף שלו. בספינות עשויות מעץ, מים כל הזמן חודרים דרך החרירים הזעירים בין הקורות, ולכן צריך כל הזמן לשאוב אותם החוצה. ארכימדס הגה משאבה פשוטה אך יעילה מאד: בורג לולייני שהיה סגור בתוך גליל גדול. כשמסובבים את הבורג והגליל, מים מתחתית הבורג מטפסים בו מעלה ומעלה עד שהם נשפכים מהקצה העליון. זהו 'בורג ארכימדס', והוא היה יעיל מאד בסילוק המים מהשיפוליים של ה'סירקוזה' הענקית. ההמצאה הזו, אגב, לא הייתה מקורית: כנראה שמשאבות דומות היו קיימות כבר בימי בבל העתיקה, מאות שנים לפני ארכימדס, והשתמשו בהן כדי להשקות את הגנים התלויים המיתולוגיים של בבל. ארכימדס גילה את הרעיון מחדש באופן עצמאי, או ששיפר את התכנון באופן כלשהו.

המלחמה הפונית השניה

אבל בשנת 218 פרצה המלחמה הפונית השניה, ושמה קץ לחייו השקטים והשלווים של ארכימדס. בתחילה היה נדמה שבמלחמה הזו, דווקא קרתגו תהיה המנצחת: גנרל פיניקי מבריק בשם חניבעל פלש לאיטליה דרך האלפים והביס את הרומאים בסדרה של קרבות.

ההצלחה של חניבעל ערערה את השליטה שהייתה לרומא על בעלות בריתה בסיציליה, ושכנעה רבים שעליהם לשוב ותמוך בקרתגו. בערים שונות באי פרצו מרידות כנגד רומא. לעומת זאת הירון, מלכה של סירקוסאי, סירב להפר את ההסכם שכרת עם רומא והמשיך להיות בן ברית נאמן לה. לרוע המזל, הירון הלך לעולמו ב-215 לפנה"ס, תוך כדי המלחמה, ולשלטון עלה נכדו בן ה-15 הירונימוס. הירונימוס הצעיר החליט לזנוח את הקו המתון של סבו ולתמוך בקרתגו. התוצאה הייתה מלחמת אזרחים בסירקוסאי, בין הפלג שתמך ברומא, הפלג שתמך בקרתגו – והפלג שביקש להיפטר מהמלוכה בעיר באופן עקרוני. הירונימוס נרצח כשנה בלבד לאחר שעלה על כס המלוכה, ואל השלטון עלו תומכיה של קרתגו.

אך לרוע מזלם של הסירקוסאים, לאורך זמן הצליחו הרומאים להתמודד עם חניבעל – ואז הפנו את מבטם דרומה, אל סיציליה. התגובה הרומאית על הפרת ההסכם עליו חתם המלך הקודם לא אחרה לבוא. הכוח בפיקודו של מרקוס מרקלוס פלש לסיציליה, הכניע עיר קטנה – ואז הסתער על סירקוסאי, העיר הגדולה והחשובה באזור. אך לתקופה הארוכה של פריחה ושגשוג בסירקוסאי תחת שלטונו של הירון היה יתרון נוסף: היא אפשרה למלך לשפר ולשכלל את ההגנות של העיר, והמהנדס הצבאי שהיה אחראי על תכנון והקמת הגנות אלה היה לא אחר מאשר ארכימדס. כפי שנוכחנו לדעת בפתיח, ארכימדס עשה עבודה טובה. כה טובה, עד שקשה להפריד בין מציאות ודימיון בתיאורי הקרב על סירקוסאי.

למשל, ההיסטוריונים הרומאים מספרים לנו שארכימדס פיתח דרך לכוון קרן מרוכזת של חום לוהט אל עבר הספינות המתקרבות: הוא העמיד על החומות עשרות לוחמים שאחזו בידיהם מגנים מבריקים, ואלו כיוונו את אור השמש המוחזר אל אותה הנקודה. על פי המתואר בסיפורים, ארכימדס הצליח כך להבעיר כמה ספינות ממרחק של כמה עשרות מטרים. מומחים מודרניים מפקפקים בנכונותו של הסיפור הזה. רוב הניסיונות לשחזר את ההישג הזה נכשלו, או שהסתיימו בהדלקה של להבה קטנה בלבד – וגם זאת במזג אוויר אידאלי. סביר יותר להניח שקרן האור המרוכזת לכל היותר סנוורה והטרידה את התוקפים.

עקרון המנוף

גם התיאורים אודות 'טלף ארכימדס' – אותם ווי מתכת שהשתלשלו מקורות רחבות בראש החומה והיו מסוגלות להניף ספינות שלמות באוויר ולטלטל אותן כאילו היו צעצועים – הם קרוב לוודאי מוגזמים. אבל בניגוד לסיפור על קרן החום, כאן יש לנו יסוד סביר להניח שיש דברים בגו, ושארכימדס אכן הצליח לממש לפחות חלק מהמתואר בהן. מדוע? מכיוון שאחד הנושאים שחקר ארכימדס לעומק היה עקרון ה'מנוף' (Leverage). הכוונה כאן לא למכונות הגדולות שאנחנו רואים על משאיות, למשל – אלא לרעיון התאורטי של מנוף, שהוא מכונה המאפשרת לאדם להפעיל בצד אחד כוח קטן יחסית, ולקבל בצד השני כוח גדול בהרבה.

דוגמה מוכרת לעקרון המנוף היא המריצה. למריצה יש בצד אחד ידיות ארוכות, ובצד שני גלגל שהוא גם נקודת המשען – הנקודה שבה המריצה נשענת על הקרקע בזמן שמרימים אותה. אם היינו צריכים להרים בכוח ידינו בלבד שק כבד, כנראה שהיינו מתקשים בכך מאד – אבל בעזרת מריצה אפשר להרים את השק ולגלגל אותו בקלות. המריצה משמשת כאן כסוג של מנוף, שבה הפעלת כוח קטן בצד אחד – בידיות – מייצרת כוח גדול בהרבה בצד השני, שהוא המשטח שעליו נמצא המשא.

כיצד מאפשר לנו המנוף לייצר כוח גדול בצד אחד, מכוח קטן מהצד השני? ובכן, נניח שאשתי רוצה שאסדר את הגינה: אפזר אדמה, אשתול צמחים חדשים וכדומה. יש לה שני דרכים לשכנע אותי לעשות זאת. הדרך הראשונה היא לבקש ממני – 'רן, לך תסדר את הגינה!'. אני בתגובה אומר – 'עזבי אותי מהגינה, אני כותב פרק של עושים היסטוריה על ארכימדס, זה הרבה יותר מעניין.' ואז היא תצעק עלי, ואני אצעק עליה, והיא תצעק עלי – ובסוף, כמו תמיד, אני אכנע ואסדר את הגינה. אבל יש לאשתי גם אפשרות אחרת לשכנע אותי. היא יכולה לבקש ממני – 'רן, סדר את הגינה בבקשה.' ואני אסרב. ואז, אחרי שעה, היא שוב תבוא – 'רן, סדר את הגינה.' ואני שוב אסרב. והיא תבוא שוב. ושוב. ושוב. ותבקש. ותציק. ותבקש…ובסוף אני אשבר ואלך לסדר את הגינה. התוצאה אותה התוצאה אבל במקום להפעיל כוח גדול בבת אחת – דהיינו, לצעוק ולריב איתי – היא הפעילה כוח חלש יחסית לאורך זמן רב, והתישה אותי עד שנשברתי.
זהו גם הרעיון שמאחורי המנוף. ידיות המריצה נמצאות רחוק יחסית מנקודת המשען – הגלגל – ועובדה זו מביאה לכך שקל להרים אותם מצד אחד, אבל כדי להרים את השק הכבד צריך להרים את הידיות לגובה מרחק רב יותר מאשר אם היינו צריכים להרים אותו בידיים בלבד. מכאן שהחלפנו הפעלת כוח גדול לאורך מרחק קצר – בהפעלת כוח חלש יותר, אבל למרחק גדול יותר. התוצאה היא אותה התוצאה – הרמנו את השק לגובה של כמה עשרות ס"מ מהקרקע – אבל המנוף הפך אותה לקלה יותר עבורנו. ואגב, גם אחרי שאסיים את העבודה בגינה, אחזיר את המריצה למחסן ואשב לשתות איזו בירה צוננת – אני עדיין אזדקק לעזרתו של עקרון המנוף. פותחן בקבוקי הבירה נשען על אותו העקרון בדיוק: נקודת המשען היא הוו שנתפס בצוואר הבקבוק, ואני מחליף את הכוח הרב שנדרש כדי לפתוח את הפקק בכוח חלש יותר שאני מפעיל על הפותחן לאורך דרך ארוכה יותר.

ארכימדס לא המציא את רעיון המנוף: זהו רעיון שרבים מבינים אותו באופן אינטואיטיבי והיה קיים שנים רבות לפניו. אבל הוא זה שניסח אותו באופן מתמטי והבין אותו לעומקו. הוא מפורסם בכך שאמר – 'תנו את נקודת משען מתאימה, וארים את עולם כולו!'. אין ספק שהיה מסוגל לתכנן מנוף גדול וארוך מספיק אפילו כדי להרים אניית קרב: אם לא להניף אותה אל מחוץ למים ממש, אזי לכל הפחות להרים את החרטום שלה ולהפוך אותה על צידה. גם שחזורים מודרניים מראים שהדבר אפשרי בהחלט.

נפילתה של סירקוסאי

אבל לרוע מזלו של ארכימדס, לא במקרה זכה מרקלוס להיחשב כמצביא מבריק ומחוכם. המצור הרומאי על סירקוסאי נמשך שנתיים תמימות, ובזמן הזה תר הגנרל אחר מודיעין שיעזור לו לפצח את ההגנות של העיר. לבסוף שיחק לו המזל. תושבי סירקוסאי שהיו שייכים לפלג שתמך ברומאים גילו לו שבקרוב עומד להתקיים בעיר פסטיבל בן שלושה ימים לכבודה של האלה ארטמיס, ובזמן זה דעתם של המגנים תהיה מוסחת. זו הייתה ההזדמנות לה חיכה מרקלוס. בזמן הפסטיבל, בחסות החשיכה, שלח כוח של לוחמים מובחרים להסתנן אל החומות. המגנים, כך הסתבר, היו שיכורים כלוט והרומאים התגברו עליהם ללא קושי. הם פתחו את השער הראשי ואפשרו לשאר הצבא להיכנס – וכך נכבשה סירקוסאי בחטף, כמעט ללא התנגדות. הרומאים בזזו את העיר והחריבו אותה כמעט עד היסוד. העיר סירקוסאי, אחת הערים המפוארות והעשירות בעולם העתיק, נפלה מגדולתה ולעולם לא התאוששה. גם המלחמה הפונית השנייה הסתיימה, בסופו של דבר בניצחון רומאי מוחץ על קרתגו. במלחמה הפונית השלישית שבאה אחריה כבשה רומא גם את העיר הפיניקית הגדולה בצפון אפריקה – וגם היא נחרבה עד היסוד.

גם ארכימדס היה קורבן של נפילת סירקוסאי. הסופר הרומאי פלוטרקוס מספר לנו שהגנרל מרקלוס העריך מאד את ארכימדס ודרש מחייליו שלא יפגעו בגאון הנדיר. אף על פי כן מצא המתמטיקאי את מותו בידיו של חייל רומאי בזמן הביזה הגדולה שלאחר הכיבוש. ישנן כמה גרסאות לסיפור. על פי אחת מהן, ארכימדס היה כה שקוע בשרטוטים גיאומטריים עד שלא שם לב שהעיר נכבשה. חייל רומאי דרש ממנו לצאת מביתו, אבל ארכימדס אמר לו – 'אל תפריע לעיגולים שלי!'. החייל זעם על ארכימדס, והרג אותו. על פי גרסא אחרת של הסיפור, ארכימדס יצא מביתו כדי לפגוש את מרקלוס ונשא עליו כלים כגון מחוגה, סרגלים ושעונים. חייל רומאי שראה אותו חשב שמדובר בתכשיטים יקרים – והרג אותו כדי לגנוב אותם. כנראה שלעולם לא נדע את האמת. קברו של ארכימדס נותר עלום עד ימינו.

הפלימפססט של ארכימדס

הסיפור הדרמטי של הקרב על סירקוסאי סייעו לקבע את תדמיתו של ארכימדס בקרב אנשי העולם העתיק כמהנדס צבאי מהמעלה הראשונה – אבל נסיבות אלה דווקא טשטשו את פועלו המהותי והחשוב באמת: החידושים המהפכניים שלו בתחום המתמטיקה הטהורה. ולא רק הנסיבות הצבאיות והפוליטיות חברו כדי לטשטש את פועלו – גם נסיבות אקראיות יותר סייעו בכך.

כפי שציינתי קודם, ארכימדס – כבן לתרבות היוונית – העדיף את המתמטיקה הטהורה על פני ההנדסה. למשל, הוא פיתח שיטות למציאת ערכם של פיי והשורש הריבועי של המספר שלוש בדיוק יוצא דופן: דיוק שאיש לא השתווה לו במשך אלף וחמש מאות השנים הבאות.
אחת התגליות המתמטיות החשובות ביותר של ארכימדס הייתה מציאת דרך לחישוב נפחו של כדור, דבר שהיה בלתי אפשרי עד זמנו. ארכימדס הוכיח שנפחו של כדור הכלוא בתוך גליל הוא שני שלישים מנפח הגליל, ומכיוון שאת נפח הגליל כן אפשר לחשב – מכאן שניתן למצוא גם את נפח הכדור שבתוכו. ארכימדס היה כל כך גאה בהצלחה זו, עד שביקש שעל קברו יחרטו ציור של כדור וגליל.

כעשרה כתבי יד של ארכימדס ובהם הוכחות מתמטיות שונות שרדו את שיני הזמן – אבל באף אחד מהם לא הסביר כיצד עלה על הרעיון העקרוני עצמו, או במילים אחרות מה היה הלך המחשבה שגרם לו להבין שנפח כדור הכלוא בתוך גליל הוא שני שליש מזה של הגליל. ההוכחה המתמטית של המשפט היא כמו ציור מושלם וגמור: אפשר להינות ממנו כפי שהוא, כמובן, אבל גם מאד מעניין לגלות איך צייר אותו הצייר – באילו כלים השתמש, איך בחר את הצבעים וכדומה. המידע הזה לגבי משפט הכדור והגליל אבד לנו – או לפחות, כך האמינו החוקרים עד לא מכבר.

בשנת 1840 ביקר מלומד אירופאי בשם טישנדורף (Tischendorf) כנסיה קטנה באינסטנבול שבתורכיה. הוא בחן ספרים עתיקים שנשתמרו בכנסיה ולא מצא שום דבר מעניין – פרט לספר אחד: ספר תפילה נוצרי שעליו זיהה כמה איורים מתמטיים. הוא כתב על כך בספר שפרסם, אבל לא המשיך לחקור את הנושא.
שנים רבות לאחר מכן, ב-1899, יצר מלומד יווני קטלוג של כל ספרי התפילה בכנסייה התורכית הקטנה. גם הוא הבחין בסימונים המתמטיים על אחד הספרים, והפעם העתיק כמה משפטים מהספר ושלח אותם לכמה מעמיתיו. המשפטים הללו מצאו את דרכם לחוקר בשם ג'ון הייברג (Heiberg), שהיה מומחה לארכימדס – והוא הראשון שהבין שמדובר למעשה בכתב יד חדש ובלתי מוכר לחלוטין של המתמטיקאי הקדום. הייברג נסע לאינסטבול וגילה שמדובר במה שמכונה 'פאלימפססט' (Palimpsest): ספר שנכתב על דפים שהיו שייכים לספר אחר.

איך כותבים ספר על ספר, אתם שואלים? ובכן, הספר המקורי נכתב במאה התשיעית לספירה, ככל הנראה באינסטנבול – או קונסטנטינופול, כפי שכונתה אז – והיה העתק של כתב יד קודם של ארכימדס. החומר ממנו היו עשויים הדפים היה עור יבש וקשה, כמו סוליה של נעל. בשנת 1204 נכבשה קונסטנטינופול על ידי הצלבנים הנוצרים, וכתב היד מצא את דרכו בדרך כלשהי אל מנזר מסוים בהרי ירושלים. הנזירים היו זקוקים לספרי תפילה, אבל נייר לכתיבה היה נדיר מאד באותם הימים – ולכן היה מקובל 'למחזר' ספרים ישנים שלא היה בהם צורך: הנזירים היו שוטפים או מגרדים את הדיו הישן, הופכים את הדפים המקוריים על צידם ומקפלים אותם מחדש – וכך קיבלו ספר ריק, שהאותיות הקודמות שמילאו אותו היו עתה דהויות ובקושי ניתנות להבחנה. כפי שניתן לשער, איש מהנזירים לא הבין שהספר הישן שהם אוחזים בידיהם הוא למעשה כתב יד נדיר של ארכימדס. למעשה, הם האמינו שמצווה גדולה היא למחוק טקסטים שנכתבו על ידי כופרים פאגאניים – ומכיוון שהטקסט המקורי היה ביוונית, והיוונים היו פאגאנים, לא הייתה להם בעיה להרוס את הספר המקורי לטובת הפיכתו לספר תפילה.

ספר התפילה נשמר במשך מאות שנים בירושלים ואז הועבר לכנסייה הקטנה באינסטנבול, שם גילה אותו הייברג. הוא צילם את הדפים ובעבודת נמלים סיזיפית ומעוררת השראה פענח את האותיות היווניות הדהויות שהסתתרו מתחת לטקסט הנוצרי. מה שגילה שם הדהים אותו ואת ההיסטוריונים בכל רחבי העולם: כתב יד חדש ובלתי מוכר של ארכימדס בשם 'השיטה של התיאוריה המכאנית', ובו מתאר הגאון היווני בפעם הראשונה את האופן שבו גילה את כל המשפטים והרעיונות המתמטיים שלו. במילים אחרות, כתב יד שמספק הצצה אינטימית למוחו ואופן חשיבתו של ארכימדס.

והצצה זו חשפה עובדה מרתקת. מסתבר שאת התגלית המפורסמת שלו בדבר נפח כדור הכלוא בתוך גליל עשה ארכימדס בזכות רעיון מהפכני שהקדים את זמנו באלף וחמש שנה: חשבון אינפיניטיסימלי. אם אין לכם מושג מהו חשבון אינפיניטיסימלי – זה בסדר: חשוב להבין רק שענף זה של המתמטיקה הוא חלק חיוני ביותר של המדע המודרני והוא גם הבסיס שעליו נשענים כמעט כל מקצועות ההנדסה. אייזיק ניוטון וגוטפריד לייבניץ פיתחו את החשבון האינפיטיסימלי במאה ה-17, אבל דמיינו לעצמכם שכתב היד של ארכימדס אודות 'השיטה של התיאוריה המכנית' לא היה הולך לאיבוד והופך לספר תפילה נוצרי. אם המדענים היו יודעים עליו ולא היה צורך להמציא מחדש את החשבון האינפיטיסימלי – ייתכן והמתמטיקה המתוחכמת הזו הייתה מתפתחת מאות רבות של שנים לפני המאה ה-17. מי יודע איפה היה המדע שלנו היום, במאה ה-21, אם רעיונותיו המתמטיים של ארכימדס לא נותרו עלומים כפי שהיו באמת….

הפלימפססט של ארכימדס נעלם שוב בשנות העשרים של המאה העשרים, זמן מה לאחר מלחמת העולם הראשונה. החוקרים כבר היו משוכנעים שאבד לנצח ואולי הושמד במלחמת העולם השניה – אבל אז צץ והופיע שוב אצל משפחה צרפתית ששמרה אותו אצלה במרתף במשך עשרות שנים, עד 1998. הספר הועמד למכירה פומבית ונרכש על קונה אלמוני תמורת שני מיליון דולר, ותרם אותו למוזיאון לשם מחקר. סריקות מתוחכמות באמצעות קרני רנטגן ואור אינפרה-אדום גילו עוד ועוד פרטים חדשים על כתבי היד החבויים בספר, והחוקרים עדיין מגלים גם היום פרטים חדשים מתוכו.

בעושים היסטוריה אני מוצא את עצמי מספר וכותב לא מעט על מדענים גאונים וחוקרים מבריקים, ואין ספק שארכימדס ראוי להכלל ברשימה הזו. המכונות שבנה והרעיונות המתמטיים שהגה היו כה מתקדמים ויוצאי דופן לתקופתו, עד שאפשר להבין מדוע דיוקנו של ארכימדס הוא זה שמעטר את המדלייה שמקבלים זוכי פרס פילדס, הפרס היוקרתי ביותר בתחום המתמטיקה. סיפורו של ארכימדס הוא גם דוגמא מרתקת לאופן שבו נסיבות החיים, המקום והזמן עשויות להשפיע על האופן שבו באה גאונות שכזו לידי ביטוי. בתקופות שלום, למשל, אפשר להתרכז במחקרים תאורטיים, אבל כשהצבא הרומאי בפתח היכולות המנטליות מתנקזות ליישומים צבאיים. אם חבר שלך הוא במקרה מלך, זה יכול מאד לעזור…אבל אז בא נזיר אלמוני במנזר קטן בפאתי ירושלים, מוחק את כל מה שכתבת ומשאיר את העולם בחשיכה לעוד כמה מאות שנים. אני מניח שאלו הם החיים…אז כל מה שנותר לנו לעשות הוא לאחוז בבקבוק בירה צוננת, לפתוח אותו באמצעות מנוף ארוך ונקודת משען איכותית – ולשתות לכבודו של האיש המיוחד הזה, ארכימדס מסירקוסאי.

 

קרא עוד בנושאים דומים:

אודות:

ספריו של רן: